Produto interno

En matemática, chámase produto interno (ou interior) a unha función de dous vectores que satisfai determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na xeometría euclidiana, é un caso especial de produto interno.

Definicións

Sexa V un espazo vectorial sobre un corpo K. En V, podemos definir a función binaria $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow K$ (denominada produto interno), que satisfai os seguintes axiomas:

$\langle u,v\rangle ={\overline {\langle v,u\rangle }}$
$\langle u+v,w\rangle =\langle u,w\rangle +\langle v,w\rangle$
$\langle \lambda u,v\rangle =\lambda \langle u,v\rangle$
Se $v\neq 0$ , entón $\langle v,v\rangle$ > $0$

onde u, v e w son vectores de V, e λ é un elemento de K.

A partir deses axiomas, é posíbel probar as seguintes consecuencias:

$\langle u,v+w\rangle =\langle u,v\rangle +\langle u,w\rangle$
$\langle u,\lambda v\rangle ={\overline {\lambda }}\langle u,v\rangle$
Se $v=0$ , entón $\langle v,v\rangle =0$
Se $\langle v,v\rangle =0$ , entón $v=0$

Outra definición que resulta de utilidade é a de semi-produto interno, que se define substituíndo a condición 4 da definición do produto interno pola seguinte:

Se $v$ é un vector tal que $\langle v,w\rangle =0,\forall w\in {\mathbf {V}}$ , entón $v=0$ .

Cando se cumpre tal condicón, dise que o produto é non dexenerado. Ademais, todo produto interno é un semi-produto interno, xa que a condición 4 implica que o produto é non dexenerado.

Exemplos

O produto escalar sobre o espazo vectorial $\mathbb {R} ^{3}$ satisfai os axiomas do produto interno e é definido por:

\langle (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})\rangle =x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}

Se f e g son dúas funcións, é posíbel definir o produto interno:

\langle f,g\rangle =\int f(x){\overline {g(x)}}\,dx

Aplicacións

A partir do produto interno, é posíbel definir os conceptos de ortogonalidade, norma e distancia entre vectores.

Véxase tamén

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.
Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.